Método de Euler y método de Ronge Kutta

Las ecuaciones diferenciales sirven para modelar problemas de ciencias e ingenierías que requieren el cambio de una variable respecto a otra. En la mayor parte de ellos hay que resolver un problema de valor inicial, es decir, resolver una ecuación diferencial que satisface una condición inicial dada.

En la generalidad de las situaciones de la vida real, la ecuación diferencial que modela el problema resulta demasiado complicada para resolverla con exactitud, por lo que se recurre a dos procedimientos para aproximar la solución. El primero consiste en simplificar la ecuación diferencial de modo que podamos resolverla exactamente y utilizar después la solución de la ecuación para aproximar la solución de la ecuación original. El segundo, se vale de métodos para aproximar la solución al problema original. Este procedimiento es el que se emplea por lo regular, pues los métodos de aproximación dan resultados más exactos y una información realista sobre el error.

Método de EULER

Este método tiene por objeto obtener una aproximación de un problema bien planteado de valor inicial.

En la practica, no se obtendrá una aproximación continua a la solución y(t); por el contrario, se generarán aproximaciones a esta solución en varios valores, llamados puntos de red, en el intervalo [a, b]. Una vez obtenida la aproximación en los puntos, podemos obtener por interpolación la solución aproximada en otros puntos del intervalo.

Ejemplo: Formula:

Por lo tanto:

Cuando el método de aproximación es Euler Modificado cambian los parámetros de aproximación:

Ejemplo: Formulas:

Por lo tanto:

Y finalmente aplicamos el método de Ronge Kutta.

Ese el método más usado en la solución de EDO’S, se requiere encontrar cuatro constantes antes de calcular la siguiente aproximación de y.

Ejemplo:

Necesitamos aproximar a “y” hasta que “x” en este caso “t” llegue a cubrir todo su intervalo

Por lo que podemos ver la inexactitud de un método a otro, pero que sin embargo se aproximan a un valor similar en los tres casos.

BIBLIOGRAFIA:

Análisis Numérico (Richard Burden), ed. MATH, séptima edición
Análisis Numérico (W. Allen Smith), ed. Limusa